TriangleArray

Algorithm Gossip: 上三角、下三角、对称矩阵

说明

上三角矩阵是矩阵在对角线以下的元素均为0，即Aij = 0，i > j，例如： 1 2 3 4 5 0 6 7 8 9 0 0 10 11 12 0 0 0 13 14 0 0 0 0 15 下三角矩阵是矩阵在对角线以上的元素均为0，即Aij= 0，i < j，例如： 1 0 0 0 0 2 6 0 0 0 3 7 10 0 0 4 8 11 13 0 5 9 12 14 15 对称矩阵是矩阵元素对称于对角线，例如： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 9 3 7 10 11 12 4 8 11 13 14 5 9 12 14 15 上三角或下三角矩阵也有大部份的元素不储存值（为0），我们可以将它们使用一维阵列来储存以节省储存空间，而对称矩阵因为对称于对角线，所以可以视为上三角或下三角矩阵来储存。

解法

假设矩阵为nxn，为了计算方便，我们让阵列索引由1开始，上三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为： loc = n/(i-1) - i/(i-1)/2 + j 化为以行为主，其公式为： loc = j/(j-1)/2 + i 下三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为： loc = i/(i-1)/2 + j 若以行为主，其公式为： loc = n/(j-1) - j/(j-1)/2 + i 公式的导证其实是由等差级数公式得到，您可以自行绘图并看看就可以导证出来，对于C/C++或Java等索引由0开始的语言来说，只要将i与j各加1，求得loc之后减1即可套用以上的公式。

实作

• C /#include /#include /#define N 5 int main(void) { int arr1[N][N] = { {1, 2, 3, 4, 5}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 0, 10, 11, 12}, {0, 0, 0, 13, 14}, {0, 0, 0, 0, 15}}; int arr2[N/(1+N)/2] = {0}; int i, j, loc = 0; printf("原二维资料：\n"); for(i = 0; i < N; i++) { for(j = 0; j < N; j++) { printf("%4d", arr1[i][j]); } printf("\n"); } printf("\n以列为主："); for(i = 0; i < N; i++) { for(j = 0; j < N; j++) { if(arr1[i][j] != 0) arr2[loc++] = arr1[i][j]; } } for(i = 0; i < N/(1+N)/2; i++) printf("%d ", arr2[i]); printf("\n输入索引(i, j)："); scanf("%d, %d", &i, &j); loc = N/i - i/(i+1)/2 + j; printf("(%d, %d) = %d", i, j, arr2[loc]); printf("\n"); return 0; }

• Java public class TriangleArray { private int[] arr; private int length; public TriangleArray(int[][] array) { length = array.length; arr = new int[length/(1+length)/2]; int loc = 0; for(int i = 0; i < length; i++) { for(int j = 0; j < length; j++) { if(array[i][j] != 0) arr[loc++] = array[i][j]; } } } public int getValue(int i, int j) { int loc = length/i - i/*(i+1)/2 + j; return arr[loc]; } public static void main(String[] args) { int[][] array = { {1, 2, 3, 4, 5}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 0, 10, 11, 12}, {0, 0, 0, 13, 14}, {0, 0, 0, 0, 15}}; TriangleArray triangleArray = new TriangleArray(array); System.out.print(triangleArray.getValue(2, 2)); } }