SeparateNumber

Algorithm Gossip: 数字拆解

说明

这个题目来自于 数字拆解，我将之改为C语言的版本，并加上说明。 题目是这样的： 3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五种 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1 共七种 依此类推，请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个？

解法

我们以上例中最后一个数字5的拆解为例，假设f( n )为数字n的可拆解方式个数，而f(x, y)为使用y以下的数字来拆解x的方法个数，则观察： 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1 使用函式来表示的话： f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,4) + f(0,5) 其中f(1, 4) = f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1)，但是使用大于1的数字来拆解1没有意义，所以f(1, 4) = f(1, 1)，而同样的，f(0, 5)会等于f(0, 0)，所以： f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,1) + f(0,0) 依照以上的说明，使用动态程式规画（Dynamic programming）来进行求解，其中f(4,1)其实就是f(5-1, min(5-1,1))，f(x, y)就等于f(n-y, min(n-x, y))，其中n为要拆解的数字，而min()表示取两者中较小的数。 使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x, y)，刚开始时，将每列的索引0与索引1元素值设定为1，因为任何数以0以下的数拆解必只有1种，而任何数以1以下的数拆解也必只有1种： for(i = 0; i < NUM +1; i++){ table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种 table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种 }

接下来就开始一个一个进行拆解了，如果数字为NUM，则我们的阵列维度大小必须为NUM x (NUM/2+1)，以数字10为例，其维度为10 x 6我们的表格将会如下所示： 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 3 0 0 1 1 3 4 5 0 1 1 3 5 6 7 1 1 4 7 9 0 1 1 4 8 0 0 1 1 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0

实作

• C /#include /#include /#define NUM 10 // 要拆解的数字 /#define DEBUG 0 int main(void) { int table[NUM][NUM/2+1] = {0}; // 动态规画表格 int count = 0; int result = 0; int i, j, k; printf("数字拆解\n"); printf("3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法\n"); printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1"); printf("共五种\n"); printf("5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1"); printf(" = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1"); printf("共七种\n"); printf("依此类推，求 %d 有几种拆法？", NUM); // 初始化 for(i = 0; i < NUM; i++){ table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种 table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种 } // 动态规划 for(i = 2; i <= NUM; i++){ for(j = 2; j <= i; j++){ if(i + j > NUM) // 大于 NUM continue; count = 0; for(k = 1 ; k <= j; k++){ count += table[i-k][(i-k >= k) ? k : i-k]; } table[i][j] = count; } } // 计算并显示结果 for(k = 1 ; k <= NUM; k++) result += table[NUM-k][(NUM-k >= k) ? k : NUM-k]; printf("\n\nresult: %d\n", result); if(DEBUG) { printf("\n除错资讯\n"); for(i = 0; i < NUM; i++) { for(j = 0; j < NUM/2+1; j++) printf("%2d", table[i][j]); printf("\n"); } } return 0; }