PerfectNumber

Algorithm Gossip: 完美数

说明

如果有一数n，其真因数（Proper factor）的总和等于n，则称之为完美数（Perfect Number），例如以下几个数都是完美数： 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 程式基本上不难，第一眼看到时会想到使用回圈求出所有真因数，再进一步求因数和，不过若n值很大，则此法会花费许多时间在回圈测试上，十分没有效率，例如求小于10000的所有完美数。

解法

如何求小于10000的所有完美数？并将程式写的有效率？基本上有三个步骤：

1. 求出一定数目的质数表
2. 利用质数表求指定数的因式分解
3. 利用因式分解求所有真因数和，并检查是否为完美数 步骤一 与 步骤二 在之前讨论过了，问题在步骤三，如何求真因数和？方法很简单，要先知道将所有真因数和加上该数本身，会等于该数的两倍，例如： 2 / 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 等式后面可以化为： 2 / 28 = (20 + 21 + 22) /* (70 + 71) 所以只要求出因式分解，就可以利用回圈求得等式后面的值，将该值除以2就是真因数和了；等式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解，不过会使用到次方运算，可以在回圈走访因式分解阵列时，同时计算出等式后面的值，这在下面的实作中可以看到。

实作

• C /#include /#include /#define N 1000 /#define P 10000 int prime(int/); // 求质数表 int factor(int/, int, int/); // 求factor int fsum(int/, int); // sum ot proper factor int main(void) { int ptable[N+1] = {0}; // 储存质数表 int fact[N+1] = {0}; // 储存因式分解结果 int count1, count2, i; count1 = prime(ptable); for(i = 0; i <= P; i++) { count2 = factor(ptable, i, fact); if(i == fsum(fact, count2)) printf("Perfect Number: %d\n", i); } printf("\n"); return 0; } int prime(int/ pNum) { int i, j; int prime[N+1]; for(i = 2; i <= N; i++) prime[i] = 1; for(i = 2; i/i <= N; i++) { if(prime[i] == 1) { for(j = 2/i; j <= N; j++) { if(j % i == 0) prime[j] = 0; } } } for(i = 2, j = 0; i < N; i++) { if(prime[i] == 1) pNum[j++] = i; } return j; } int factor(int/ table, int num, int/ frecord) { int i, k; for(i = 0, k = 0; table[i] / table[i] <= num;) { if(num % table[i] == 0) { frecord[k] = table[i]; k++; num /= table[i]; } else i++; } frecord[k] = num; return k+1; } int fsum(int/ farr, int c) { int i, r, s, q; i = 0; r = 1; s = 1; q = 1; while(i < c) { do { r /= farr[i]; q += r; i++; } while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]); s /*= q; r = 1; q = 1; } return s / 2; }

• Java import java.util.ArrayList; public class PerfectNumber { public static int[] lessThan(int number) { int[] primes = Prime.findPrimes(number); ArrayList list = new ArrayList(); for(int i = 1; i <= number; i++) { int[] factors = factor(primes, i); if(i == fsum(factors)) list.add(new Integer(i)); } int[] p = new int[list.size()]; Object[] objs = list.toArray(); for(int i = 0; i < p.length; i++) { p[i] = ((Integer) objs[i]).intValue(); } return p; } private static int[] factor(int[] primes, int number) { int[] frecord = new int[number]; int k = 0; for(int i = 0; Math.pow(primes[i], 2) <= number;) { if(number % primes[i] == 0) { frecord[k] = primes[i]; k++; number /= primes[i]; } else i++; } frecord[k] = number; return frecord; } private static int fsum(int[] farr) { int i, r, s, q; i = 0; r = 1; s = 1; q = 1; while(i < farr.length) { do { r /= farr[i]; q += r; i++; } while(i < farr.length - 1 && farr[i-1] == farr[i]); s /= q; r = 1; q = 1; } return s / 2; } public static void main(String[] args) { int[] pn = PerfectNumber.lessThan(1000); for(int i = 0; i < pn.length; i++) { System.out.print(pn[i] + " "); } System.out.println(); } }