JosephusProblem

Algorithm Gossip: 约瑟夫问题（Josephus Problem）

说明

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人 开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。 然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法

约瑟夫问题可用代数分析来求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您与您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示： 使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直而计数达41为止，然后将阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人而报数3的约琴夫排列如下所示： 14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23 由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道约琴夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

实作

• C /#include /#include /#define N 41 /#define M 3 int main(void) { int man[N] = {0}; int count = 1; int i = 0, pos = -1; int alive = 0; while(count <= N) { do { pos = (pos+1) % N; // 环状处理 if(man[pos] == 0) i++; if(i == M) { // 报数为3了 i = 0; break; } } while(1); man[pos] = count; count++; } printf("\n约琴夫排列："); for(i = 0; i < N; i++) printf("%d ", man[i]); printf("\n\n您想要救多少人？"); scanf("%d", &alive); printf("\nL表示这%d人要放的位置：\n", alive); for(i = 0; i < N; i++) { if(man[i] > alive) printf("D"); else printf("L"); if((i+1) % 5 == 0) printf(" "); } printf("\n"); return 0; }

• Java public class Josephus { public static int[] arrayOfJosephus( int number, int per) { int[] man = new int[number]; for(int count = 1, i = 0, pos = -1; count <= number; count++) { do { pos = (pos+1) % number; // 环状处理 if(man[pos] == 0) i++; if(i == per) { // 报数为3了 i = 0; break; } } while(true); man[pos] = count; } return man; } public static void main(String[] args) { int[] man = Josephus.arrayOfJosephus(41, 3); int alive = 3; System.out.println("约琴夫排列："); for(int i = 0; i < 41; i++) System.out.print(man[i] + " "); System.out.println("\nL表示3个存活的人要放的位置："); for(int i = 0; i < 41; i++) { if(man[i] > alive) System.out.print("D"); else System.out.print("L"); if((i+1) % 5 == 0) System.out.print(" "); } System.out.println(); } }