FibonacciSearch

Algorithm Gossip: 费氏搜寻法

说明

二分搜寻法每次搜寻时，都会将搜寻区间分为一半，所以其搜寻时间为O(log(2)n)，log(2)表示以2为底的log值，这边要介绍的费氏搜寻，其利用费氏数列作为间隔来搜寻下一个数，所以区间收敛的速度更快，搜寻时间为O(logn)。

解法

费氏搜寻使用费氏数列来决定下一个数的搜寻位置，所以必须先制作费氏数列，这在之前有提过；费氏搜寻会先透过公式计算求出第一个要搜寻数的位置，以及其代 表的费氏数，以搜寻对象10个数字来说，第一个费氏数经计算后一定是F5，而第一个要搜寻的位置有两个可能，例如若在下面的数列搜寻的话（为了计算方便， 通常会将索引0订作无限小的数，而数列由索引1开始）： -∞ 1 3 5 7 9 13 15 17 19 20 如果要搜寻5的话，则由索引F5 = 5开始搜寻，接下来如果数列中的数小于指定搜寻值时，就往左找，大于时就向右，每次找的间隔是F4、F3、F2来寻找，当费氏数为0时还没找到，就表示寻找失败，如下所示： 由于第一个搜寻值索引F5 = 5处的值小于19，所以此时必须对齐数列右方，也就是将第一个搜寻值的索引改为F5+2 = 7，然后如同上述的方式进行搜寻，如下所示：

至于第一个搜寻值是如何找到的？我们可以由以下这个公式来求得，其中n为搜寻对象的个数： Fx + m = n Fx <= n

也就是说Fx必须找到不大于n的费氏数，以10个搜寻对象来说： Fx + m = 10

取Fx = 8, m = 2，所以我们可以对照费氏数列得x = 6，然而第一个数的可能位置之一并不是F6，而是第x-1的费氏数，也就是F5 = 5。 如果数列number在索引5处的值小于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置就是索引5的位置，如果大于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置必须加上m，也就是F5 + m = 5 + 2 = 7，也就是索引7的位置，其实加上m的原因，是为了要让下一个搜寻值刚好是数列的最后一个位置。 费氏搜寻看来难懂，但只要掌握Fx + m = n这个公式，自己找几个实例算一次，很容易就可以理解；费氏搜寻除了收敛快速之外，由于其本身只会使用到加法与减法，在运算上也可以加快。

实作

• C /#include /#include /#include /#define MAX 15 /#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void createfib(void); // 建立费氏数列 int findx(int, int); // 找x值 int fibsearch(int[], int); // 费氏搜寻 void quicksort(int[], int, int); // 快速排序 int Fib[MAX] = {-999}; int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, find; srand(time(NULL)); for(i = 1; i <= MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; } quicksort(number, 1, MAX); printf("数列："); for(i = 1; i <= MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n输入寻找对象："); scanf("%d", &find); if((i = fibsearch(number, find)) >= 0) printf("找到数字于索引 %d ", i); else printf("\n找不到指定数"); printf("\n"); return 0; } // 建立费氏数列 void createfib(void) { int i; Fib[0] = 0; Fib[1] = 1; for(i = 2; i < MAX; i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2]; } // 找 x 值 int findx(int n, int find) { int i = 0; while(Fib[i] <= n) i++; i--; return i; } // 费式搜寻 int fibsearch(int number[], int find) { int i, x, m; createfib(); x = findx(MAX+1,find); m = MAX - Fib[x]; printf("\nx = %d, m = %d, Fib[x] = %d\n\n", x, m, Fib[x]); x--; i = x; if(number[i] < find) i += m; while(Fib[x] > 0) { if(number[i] < find) i += Fib[--x]; else if(number[i] > find) i -= Fib[--x]; else return i; } return -1; } void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, k, s; if(left < right) { s = number[(left+right)/2]; i = left - 1; j = right + 1; while(1) { while(number[++i] < s) ; // 向右找 while(number[--j] > s) ; // 向左找 if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } quicksort(number, left, i-1); // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right); // 对右边进行递回 } }

• Java public class FibonacciSearch { public static int search(int[] number, int des) { int[] fib = createFibonacci(number.length); int x = findX(fib, number.length+1, des); int m = number.length - fib[x]; x--; int i = x; if(number[i] < des) i += m; while(fib[x] > 0) { if(number[i] < des) i += fib[--x]; else if(number[i] > des) i -= fib[--x]; else return i; } return -1; } private static int[] createFibonacci(int max) { int[] fib = new int[max]; for(int i = 0; i < fib.length; i++) { fib[i] = Integer.MIN_VALUE; } fib[0] = 0; fib[1] = 1; for(int i = 2; i < max; i++) fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]; return fib; } private static int findX(int[] fib, int n, int des) { int i = 0; while(fib[i] <= n) i++; i--; return i; } public static void main(String[] args) { int[] number = {1, 4, 2, 6, 7, 3, 9, 8}; QuickSort.sort(number); int find = Fibonacci.search(number, 3); if(find != -1) System.out.println("找到数值于索引" + find); else System.out.println("找不到数值"); } }